Test F

In statistica il test F per il confronto di due varianze è un test di ipotesi basato sulla distribuzione F di Fisher-Snedecor e volto a verificare l'ipotesi che due popolazioni che seguono entrambe distribuzioni normali abbiano la stessa varianza.

Procedimento

Se le popolazioni X e Y seguono rispettivamente le distribuzioni normali $\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ e $\mathcal{N}(\mu_Y,\sigma_Y^2)$, allora

• i campioni $X_1,X_2,\ldots,X_n$ e $Y_1,Y_2,\ldots,Y_m$ si suppongono indipendenti, i primi isonomi a X e i secondi isonomi a Y;
• gli stimatori delle varianze osservate $S_X^2$ e $S_Y^2$ sono variabili aleatorie indipendenti;
• le variabili aleatorie $\tfrac{n-1}{\sigma_X^2}S_X^2$ e $\tfrac{m-1}{\sigma_Y^2}S_Y^2$ seguono rispettivamente le distribuzioni chi quadro $\chi^2(n-1)$ e $\chi^2(m-1)$;
• il rapporto $F=\tfrac{\sigma_Y^2}{\sigma_X^2}\frac{S_X^2}{S_Y^2}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor $\mathcal{F}(n-1,m-1)$.

Variabile di decisione

Sotto l'ipotesi $H_0=(\sigma_X^2=\sigma_Y^2)$, ovvero se le due popolazioni hanno la stessa varianza, allora la variabile aleatoria

$F=\frac{S_X^2}{S_Y^2}$

segue la distribuzione di Fisher-Snedecor

$\mathcal{F}(n-1,m-1)$

di parametri n-1 e m-1, dove n e m sono le numerosità dei due campioni.

La scelta del numeratore non influenza il test: sotto l'ipotesi nulla la variabile aleatoria $1/F$ segue la distribuzione $\mathcal{F}(m-1,n-1)$.

Il test

Come regione di accettazione, al livello di significatività α, viene preso l'intervallo compreso tra i quantili di ordine $\frac{\alpha}{2}$ e $1-\frac{\alpha}{2}$, mentre la regione di rifiuto è quella esclusa:

$\mathcal{A}=]f_{\frac{\alpha}{2}},f_{1-\frac{\alpha}{2}}[; \qquad\mathcal{R}=]0,f_{\frac{\alpha}{2}}[\ \cup\ ]f_{1-\frac{\alpha}{2}},\infty[$

Un valore appartenente all'intervallo $]0,f_{\frac{\alpha}{2}}[$ suggerisce che la varianza di X sia minore della varianza di Y, mentre un valore appartenente all'intervallo $]f_{1-\frac{\alpha}{2}},\infty[$ suggerisce l'inverso.

Econometria

In molti casi la statistica F può essere calcolata con un processo più diretto:

$F=\frac{\left(\frac{\mbox{SSR}_1 - \mbox{SSR}_2 }{p_2 - p_1}\right)}{\left(\frac{\mbox{SSR}_2}{n - p_2}\right)}$

dove SSR_i è la somma dei quadrati residui (dall'inglese Sum of Square Residuals) del modello i.

In econometria vale anche la seguente formula di moltiplicazioni tra matrici:

$F = \frac{(R \hat{\beta} - r )(\hat{R Var(\widehat{\beta}) R'})^{-1} (R\hat{\beta} - r)}{ q}$

dove:

• $R$ è la matrice dei vincoli;
• $r$ è il parametro d'eguagliaza;
• $(\hat{R Var(\widehat{\beta}) R'})^{-1}$ è l'inversa della matrice con le covarianze;
• $q$ è il numero dei vincoli di $H_0$.

Solitamente gli strumenti sono rilevanti se F ≥ 10

Una tavola dei valori critici del test F può essere trovata qui.

Applicazione alla comparazione di diverse statistiche $\chi^2$

In analisi dei dati il test F viene comunemente usato per confrontare i risultati ottenuti con due diversi metodi e valutati con l'estimatore $\chi^2$. Se si hanno due variabili $\chi^2_1$ e $\chi^2_2$ che seguono la distribuzione di $\chi^2$ a $\nu_1$ e $\nu_2$ gradi di libertà rispettivamente, si può costruire la variabile $f$:

$f = \frac{\chi^2_1 / \nu_1}{\chi^2_2 / \nu_2}$

che sarà distribuita secondo la Distribuzione F:

$p(f; \nu_1, \nu_2) = \frac{\Gamma[(\nu_1+\nu_2)/2]}{\Gamma[\nu_1/2]\Gamma[\nu_2/2]} \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\nu_1 /2} \frac{f^{1/2 (\nu_1 -2)}}{(1+f \nu_1 / \nu_2)^{1/2 (\nu_1+\nu_2)}} \quad$.

Per capire se $\chi^2_1$ e $\chi^2_2$ sono consistenti si usa quindi l'integrale della distribuzione di probabilità per $f$:

$P_f({f^0;\nu_1, \nu_2}) = \int_{f^0}^{\infty} p(f, \nu_1, \nu_2) df$

dove $f^0$ è il particolare valore di $f$ ottenuto.

Il valore di $P_f$ dice la probabilità di trovare un valore di $f$ pari a $f^0$ o più alto da dati casuali se $\chi^2_1$ e $\chi^2_2$ sono in accordo.

Tipicamente il test F usato per i $\chi^2$ confronta due fit applicati agli stessi dati per capire se uno è migliore dell'altro. Se il valore di $P_f$ è minore del livello di confidenza scelto (ad es. 5%), si ha una significativa differenza nella bontà dei due fit.